Relações Binárias
PAR
ORDENADO :
conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo
símbolo (x;y) onde x e y são números reais, denominados
respectivamente de abscissa e ordenada.
Ex: Par ordenado (6; -3) : abscissa = 6 e ordenada = -3.>
Propriedade: dois pares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguais as abscissas e as ordenadas. Em termos simbólicos:
(x;y) = (w;z) Û x = w e y = z
Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7) >Û 2x - 4 = - x e y = 7 <\ x = 4/3 e y = 7. >
PLANO CARTESIANO : também conhecido como sistema de coordenadas retangulares ; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O(0;0).
>Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões , que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo:
Obs:
1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.
2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante.
3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante.
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL : Entende-se por módulo ou valor absoluto do número real a e
escreve-se ½ a½ , o seguinte:
½ a½ = a se a ³ 0
½ a½ = -a se a < 0
Por esta definição, o módulo de um número positivo ou nulo (não negativo) é o próprio número e o módulo de um número negativo é o simétrico desse número.
Exs: ½ 7½ = 7 ; ½ -5½ = 5 ; ½ 0½ = 0 ; ½ 7 - 10½ = ½ -3½ = 3
São válidas as seguintes propriedades relativas às igualdades e desigualdades modulares:
P1) ½ w½ = 0 Û w = 0
P2) ½ w½ = b , onde b > 0 Û w = b ou w = - b
P3) ½ w½³ b , onde b> 0 Û w ³ b ou w £ - b
P4) ½ w½£ b , onde b> 0 Û -b £ w £ b
PRODUTO CARTESIANO: Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano de A por B , que indicamos pelo símbolo AxB , ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y)
onde xÎ A e y Î B. Em termos simbólicos, podemos escrever:
AxB = { (x;y); x Î A e y Î B}
Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5}, (3;7) }
Obs: Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos:
a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja AxA é representado por A2 .
Assim , podemos escrever: A x A = A2 .
b) A x B ¹ B x A (o produto cartesiano é uma operação não comutativa)
c) A x f = f
d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam os números de elementos de A e de B, respectivamente.
RELAÇÃO BINÁRIA
Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:
 = { (x;y) ΠAxB ; x  y }
Ex: Â = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.
NOTAS:
1) ÂÌ AxB
2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio.
3) se (x;y) Π, então dizemos que y é imagem de x , pela relação  .
4) a expressão x y eqüivale a dizer que (x;y) Π.
5) dada uma relação  = { (x;y) Î AxB ; x  y } , o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação.
6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2n(A).n(B) .
7 - Dada uma relação  = { (x,y) Î AxB ; x  y } , define-se a relação inversa  -1 como sendo:
 -1 = { (y,x) ΠBxA ; y  x }.
Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) }
F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.
Agora, tente resolver as questões a seguir.
1 - Sendo A = {x Î N; 1 < x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação
S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é:
a) {4,5,6}
*b) {6,7}
c) {5,6,7}
d) {7}
e) {1}
2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3, então o número de elementos de p(A) X p(B) é:
a)4
b)8
c)16
*d)32
e)64
3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) Î AxB } e
F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relações dados, pode-se afirmar:
I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A.
II) O domínio de F é o conjunto B.
III) R tem 5 elementos.
IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox.
V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz.
São verdadeiras:
a) todas
b) nenhuma
c) III e IV
*d) I, II e V
e)somente I
4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por:
a) 4 pontos
b) 4 retas
c)um retângulo
d)retas paralelas a Ox
*e) dois segmentos de reta
5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 , n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que n(AxC) é:
a)64
b)72
*c)96
d)128
e)192
6 - UFCE - Dado um conjunto C , denotemos por n(p(C)) o número de elementos do conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais que n(p(AxB)) = 128 e n(B) > n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)).
Resp: 64
Ex: Par ordenado (6; -3) : abscissa = 6 e ordenada = -3.>
Propriedade: dois pares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguais as abscissas e as ordenadas. Em termos simbólicos:
(x;y) = (w;z) Û x = w e y = z
Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7) >Û 2x - 4 = - x e y = 7 <\ x = 4/3 e y = 7. >
PLANO CARTESIANO : também conhecido como sistema de coordenadas retangulares ; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O(0;0).
>Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões , que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo:
|
QUADRANTE
|
ABSCISSA
|
ORDENADA
|
|
1º quadrante
|
+
|
+
|
|
2º quadrante
|
-
|
+
|
|
3º quadrante
|
-
|
-
|
|
4º quadrante
|
+
|
-
|
1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.
2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante.
3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante.
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL : Entende-se por módulo ou valor absoluto do número real a e
escreve-se ½ a½ , o seguinte:
½ a½ = a se a ³ 0
½ a½ = -a se a < 0
Por esta definição, o módulo de um número positivo ou nulo (não negativo) é o próprio número e o módulo de um número negativo é o simétrico desse número.
Exs: ½ 7½ = 7 ; ½ -5½ = 5 ; ½ 0½ = 0 ; ½ 7 - 10½ = ½ -3½ = 3
São válidas as seguintes propriedades relativas às igualdades e desigualdades modulares:
P1) ½ w½ = 0 Û w = 0
P2) ½ w½ = b , onde b > 0 Û w = b ou w = - b
P3) ½ w½³ b , onde b> 0 Û w ³ b ou w £ - b
P4) ½ w½£ b , onde b> 0 Û -b £ w £ b
PRODUTO CARTESIANO: Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano de A por B , que indicamos pelo símbolo AxB , ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y)
onde xÎ A e y Î B. Em termos simbólicos, podemos escrever:
AxB = { (x;y); x Î A e y Î B}
Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5}, (3;7) }
Obs: Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos:
a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja AxA é representado por A2 .
Assim , podemos escrever: A x A = A2 .
b) A x B ¹ B x A (o produto cartesiano é uma operação não comutativa)
c) A x f = f
d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam os números de elementos de A e de B, respectivamente.
RELAÇÃO BINÁRIA
Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:
 = { (x;y) ΠAxB ; x  y }
Ex: Â = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.
NOTAS:
1) ÂÌ AxB
2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio.
3) se (x;y) Π, então dizemos que y é imagem de x , pela relação  .
4) a expressão x y eqüivale a dizer que (x;y) Π.
5) dada uma relação  = { (x;y) Î AxB ; x  y } , o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação.
6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2n(A).n(B) .
7 - Dada uma relação  = { (x,y) Î AxB ; x  y } , define-se a relação inversa  -1 como sendo:
 -1 = { (y,x) ΠBxA ; y  x }.
Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) }
F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.
Agora, tente resolver as questões a seguir.
1 - Sendo A = {x Î N; 1 < x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação
S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é:
a) {4,5,6}
*b) {6,7}
c) {5,6,7}
d) {7}
e) {1}
2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3, então o número de elementos de p(A) X p(B) é:
a)4
b)8
c)16
*d)32
e)64
3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) Î AxB } e
F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relações dados, pode-se afirmar:
I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A.
II) O domínio de F é o conjunto B.
III) R tem 5 elementos.
IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox.
V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz.
São verdadeiras:
a) todas
b) nenhuma
c) III e IV
*d) I, II e V
e)somente I
4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por:
a) 4 pontos
b) 4 retas
c)um retângulo
d)retas paralelas a Ox
*e) dois segmentos de reta
5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 , n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que n(AxC) é:
a)64
b)72
*c)96
d)128
e)192
6 - UFCE - Dado um conjunto C , denotemos por n(p(C)) o número de elementos do conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais que n(p(AxB)) = 128 e n(B) > n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)).
Resp: 64
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