HISTÓRIA
DA GEOMETRIA
Uma estranha construção feita pelos antigos persas para
estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a
demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o
busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas,
muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da
experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam
concretizadas nas figuras geométricas.
Uma medida para a vida
As origens da Geometria (do grego medir
a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras
férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos
astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações
geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam
bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é
que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a
Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates.
E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que
data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na
Grécia, por importação do Egito.
Pitágoras deu nome a um importante
teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração
matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie
de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os
"Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que
contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema
axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração
(postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três
conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles
referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar
da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e
contraditórios) dos de Euclides.
O corpo como unidade
As primeiras unidades de medida
referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito.
Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos
os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e
precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e
com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram
as primeiras medidas oficiais de comprimento.
Ângulos e figuras
Tanto entre os sumérios como entre os
egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam
plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de
90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema
como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um
segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de
compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos,
secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
O problema mais comum para um construtor
é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não
resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de
antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de
modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos
equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque:
em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52,
isto é, 9+16=25.
Qualquer trio de números inteiros ou não
que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram
padronizados na forma de esquadros.
Para medir superfícies
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os
impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio
de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com
mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para
conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número
tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo:
multiplicar a base pela altura.
Já para descobrir a área do triângulo,
os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo,
basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos
que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então
a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha
diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área
do quadrado.
Quando deparavam com uma superfície
irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e
agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando
num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e
assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas
davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o
terreno não era plano ou possuía bordos curvos.
De fato, muitos terrenos seguem o contorno
de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva.
Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência
e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo,
sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar
círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la
em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O
comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o
comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a
circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco
mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o
mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior
que o de seu raio; b) para
conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e
multiplicá-lo por 6,28.
E a área do círculo? A história da
Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba
egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o
respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.
Conta a tradição que Ahmes solucionou o
problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas
vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia
razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou
que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou
aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então
que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído
sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.
O número 3,14 é básico na Geometria e
na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo
p ("pi")
representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias
dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira
sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.
Novas figuras
Por volta de 500 a.C., as primeiras
universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o
conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los
e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros
sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para
traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O
conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que
a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas
áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono,
do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até
rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de
Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de
estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência
aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os
gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um
objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.
No primeiro caso, para calcular, por
exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois
observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de
90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave
e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles,
porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais.
Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco
até a costa.
O cálculo da altura de uma construção,
de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma
estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua
altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de
ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.
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