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MATEMÁTICA

Considere um triângulo ABC e os pontos D e E na base BC, com D entre B e E e E entre D e C.
Trace os segmentos AD e AE, de modo que "BAD" = "DAE" = "EAC" =45º.
Se BD=3, DE=2, quanto mede EC?

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Para resolver este exercício, dê uma olhada em Teorema da Bissetriz Interna e Te Teorema da Bissetriz Externa.
O desenho desta situação é o seguinte:

Note que AD é bissetriz interna do triângulo BEA. Ou seja, podemos utilizar o teorema da bissetriz interna neste triângulo:

(1)

Veja, também, que o triângulo mostrado acima, é retângulo. Ou seja, podemos aplicar pitágoras nele:

(2)

Substituímos a equação (1) na equação (2):

Racionalizando este valor:

Voltando agora, lá na equação (1), substituímos este valor nela:

Agora que sabemos o valor de AB e AE podemosa aumentar nossa visão do triângulo ABE.:

Sabemos que o ângulo BAD = DAE = EAC = 45°, portanto, podemos concluir que CAF também vale 45°. Com este raciocínio, concluímos que CA divide o ângulo externo EAF ao meio, ou seja, AC é a bissetriz externa. Podemos, então, aplicar o teorema da bissetriz externa.

Esta é a resposta que o enunciado está pedindo!